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CAVERNE D'ALIBABA

LIENS

L' espace affine

Dans un plan ℘ on a des points, A, B, C .... mais il n'y a pas d' opérations sur les points, or on aimerait bien faire des calculs dans ℘ ...

Soient E un espace vectoriel et ℘ un ensemble tel que , à partir de deux points A,B , on puisse fabriquer un seul vecteur $\vec{u}$ unique
$(A,B) \; -> \; \vec{AB}=\vec{u}$ vecteur $\vec{u}$ unique
et la règle de fabrication doit vérifier 2 axiomes suivants:
où A,B,C ∈℘, u∈E
$A1.\; \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ relation de Chasles
$A2. \; \vec{AB}=\vec{0} \; -> \; A=B$

REMARQUE IMPORTANT: il est possible de fabriquer $\vec{u}$ à partir de plusieurs couples de points (A,B) , (C,D) ...mais c'est le même vecteur $\vec{u}$ qu'on trouve
$\vec{AB}=\vec{u} \;et\; \vec{CD}=\vec{u}$
on dira que ces couples (A,B) et (C,D) sont équipollents
La relation de Chasles est un axiome donc on ne la démontre pas !!!

Exemples

Le plus simple est notre plan traditionnel P muni un repère, voici la règle de fabrication des vecteurs: A=(x_A,y_A) , B=(x_B,y_B)
$\vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$
Ainsi on pourrait faire des calculs dans P (P muni un repère)

Quelles propriétés, les règles de calculs

$1. \; \vec{AA}=\vec{0}$
en effet
$\vec{AA}+\vec{AB}=\vec{AB} \;(A1)$
ça signifie que $\vec{AA}$ est l'élement neutre de '+' donc
$\vec{AA}=\vec{0}$

$2. \; \vec{AB}=-\vec{BA}$
en effet
$\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{AA} \;(A1)$ or
$\vec{AA}=\vec{0}$ d'où
$\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{0}$
ça signifie que $\vec{BA}$ est l'opposé de $\vec{AB}$

$3. \; \vec{AB}=\vec{AC} \;->\; B=C$
en effet
$-\vec{AC}+\vec{AB}=\vec{0}$
$\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{0}$
$\vec{CB}=\vec{0} \;->\; C=B \;(A2)$

$4. \; \vec{AB}=\vec{CD} \;->\; \vec{AC}=\vec{BD}$
en effet
$\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}$ je coupe AB en AC, puisque je veux AC
$\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BD}$ je coupe CD en BD, puisque je veux BD, d'où
$\vec{AC}=\vec{BD}$

$5. \; \vec{AB}=\vec{DC}$ ABCD parallélogramme
$6. \; \vec{AB}=k\vec{AC}$ où k∈R* ; les points A,B,C sont alignés